Математические модели на микроуровне

 

Рассмотрим модели технических систем на микроуровне. В большинстве случаев это распределенные модели (объекты с распределенными параметрами) и они представляют собой системы дифференциальных уравнений в частных производных. При создании математических моделей целесообразно исходить из основных физических законов в их наиболее «чистом», фундаментальном виде. Такой подход обеспечивает наиболее адекватное описание объектов, протекания процессов и явлений окружающего нас мира.

Фундаментальными физическими законами в первую очередь являются законы сохранения массы, количества движения, энергии. Эти законы можно сформулировать в одном общем виде: изменение во времени некоторой субстанции в элементарном объеме равно сумме притока-стока этой субстанции через поверхность элементарного объема. Субстанцией служат масса, количество движения, энергия. Эта формулировка остается справедливой и для некоторых других субстанций, например, количества теплоты, количества зарядов, количества элементарных частиц и др. Если внутри элементарного объема происходит генерация или уничтожение рассматриваемой субстанции, то к сумме притока-стока нужно добавить соответствующий член, отражающий данное явление. В этом случае общий вид уравнений, составляющих основу большинства распределенных моделей, будет следующим:

, 16

где φ – некоторая фазовая переменная, выражающая субстанцию (плотность, энергию и т. п.);

 – поток фазовой переменной;

G – скорость генерации субстанции;

t – время.

Поток фазовой переменной φ есть вектор  = (Jx, Jy, Jz). Дивергенция (расходимость) этого вектора определяется общим соотношением

, 17

является скалярной величиной и характеризует сумму притока-стока через поверхность элементарного объема.

Рассмотрим основные уравнения некоторых физических процессов.

1) Уравнение непрерывности гидродинамики

В течении жидкости или газа имеем в любой точке M определенное значение скорости движущейся частицы, т. е. векторное поле скорости. Обозначим через ρ плотность жидкости в данной точке. Понятие дивергенции позволяет описать поведение этой плотности в отдельной точке:

. 18

Это уравнение описывает закон сохранения массы и называется уравнением непрерывности.

При одномерном исполнении

. 19

2) Уравнение теплопроводности

Связь изменения температуры во времени и пространстве со свойствами среды описывается с помощью уравнения теплопроводности. Это уравнение вытекает из закона сохранения энергии: изменение во времени количества теплоты в элементарном объеме равно сумме притока-стока теплоты и изменения теплоты за счет ее превращения в другие виды энергии в том же объеме:

, 110

где Q – количество теплоты;

 – вектор плотности теплового потока;

GQ – количество теплоты, выделяемой в единицу времени в рассматриваемом элементарном объеме.

2) Уравнение непрерывности электрического тока

Движение электрических зарядов через поверхность элементарного объема записывается в виде

, 111

где ρ – объемная плотность электрических зарядов;

 – вектор плотности тока проводимости и смещения.

Приведенные примеры показывают однотипность математических моделей на микроуровне, но в то же время использование математических моделей объектов в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных возможно для простых технических систем, так как их решение наталкивается на значительные трудности. Методы дискретизации пространства (конечных разностей и конечных элементов), которые используются для приближенного решения этих уравнений, приводят к решению систем с числом уравнений 106 и более.

Назад