Моделирование на макроуровне

 

Модели макроуровня получаются, когда происходит переход от распределенных параметров к сосредоточенным – выделяются крупные элементы объектов и их параметры сосредоточиваются в одной точке: масса балки оказывается сосредоточенной в центре тяжести, поле потенциалов характеризуется величиной одного напряжения, поток электронов моделируется электрическим током и т. п. Происходит дискретизация пространства, однако время – по-прежнему непрерывная величина. Математическими моделями на макроуровне являются обыкновенные дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения.

Поведение (состояние) моделируемых объектов, состоящих из физически однородных элементов, в которых описываются процессы определенной физической природы (механические, электрические, гидравлические, тепловые), можно характеризовать с помощью фазовых переменных двух типов – типа потенциала и типа потока.

В табл. 1.2 приведены типы фазовых переменных для объектов разной физической природы.

Таблица 1.2

Фазовые переменные для различных физических систем

Система

Фазовые переменные

типа потенциала

типа потока

Электрическая

Электрическое напряжение

Электрический ток

Механическая

Скорость

Сила

Механическая вращательная

Угловая скорость

Вращательный момент

Тепловая

Температура

Тепловой поток

Гидравлическая и пневматическая

Давление

Расход

В большинстве технических объектов можно выделить три типа пассивных простейших элементов:

  • типа R – элемент рассеивания (диссипации) энергии (как правило, преобразования энергии в тепловую и ее рассеивания);

  • типа C и типа L – элементы накопления потенциальной и кинетической энергии.

Кроме пассивных элементов, существуют два активных элемента – источник напряжения и источник тока.

Уравнения, описывающие свойства элементов объекта, называют компонентными. В них входят переменные типа потенциала и типа потока. Способ связи элементов отражается с помощью других уравнений, которые называют топологическими. В них входят переменные одного типа: либо потенциала, либо потока. Топологические уравнения могут выражать законы сохранения, условия непрерывности, равновесия, баланса и т. п.

Математические модели объектов есть совокупность компонентных и топологических уравнений.

Рассмотрим примеры компонентных и топологических уравнений для некоторых разных по своей физической природе объектов.

1) Электрические системы

Основными фазовыми переменными электрических систем являются напряжения и токи в различных элементах систем. Компонентные уравнения элементов имеют вид

, 112

где U – напряжение;

I – ток;

R – сопротивление;

C – емкость;

L – индуктивность.

При соединении резисторов, емкостей, индуктивностей между собой образуется схема, соединение элементов в которой отражается топологическими уравнениями. Ими являются законы Кирхгофа:

, 113

где уравнения токов записываются для узлов, а уравнения напряжений для контуров. В ЭЭС имеются достаточно сложные элементы, и при их моделировании применяют схемы замещения, состоящие из сопротивлений, емкостей и индуктивностей.

2) Механическая система

Элементами механических поступательных систем являются:

  • элементы механического сопротивления, отражающие потери механической энергии на разные виды трения;

  • элементы масс, отражающие свойства инерционности;

  • элементы гибкости, отражающие свойства упругости.

Роль фазовых переменных в механических системах выполняют либо силы и скорости, либо силы и перемещения.

Компонентные уравнения имеют вид

, 114

где V – скорость;

F – сила;

R – коэффициент, учитывающий зависимость силы трения от скорости;

m – масса-аналог электрической емкости;

Lm – гибкость – параметр, являющийся аналогом электрической индуктивности.

Первое выражение в (1.14) указывает на связь скорости и силы через коэффициент вязкого трения . Второе выражение является вторым законом Ньютона. Третье выражение в (1.14) получено из уравнения перемещения пружины x под действием силы F = kx, где k – коэффициент жесткости пружины. После дифференцирования последнего выражения получаем

. 115

Если обозначить  (механическая гибкость), то получим третье выражение в (1.14).

Топологические уравнения механической системы выражают уравнение равновесия сил, являющееся аналогом первого закона Кирхгофа, и уравнение сложения скоростей, в соответствии с которым сумма абсолютной, относительной и переносной скоростей равна нулю (аналог второго закона Кирхгофа).

. 116

3) Механические вращательные системы

Для механических вращательных систем наиболее просто выглядит аналогия с механическими поступательными системами. Поступательной скорости V соответствует угловая скорость Ω, силе F – вращательный момент M. Аналогиями параметров m, Lm и R будут соответственно: J – момент инерции относительно оси вращения со скоростью Ω; Lвр – вращательная гибкость; Rвр – сопротивление вращению.

Компонентные уравнения механической вращательной системы имеют вид

. 117

Топологические уравнения механической вращательной системы выражают закон равенства суммы моментов сил и закон сложения скоростей вокруг оси вращения:

. 118

4) Гидравлические и пневматические системы

Фазовыми переменными гидравлических систем являются поток жидкости (расход) q и давление p – аналоги электрического тока и напряжения соответственно. Компонентные уравнения участков трубопровода и резервуаров гидросистемы связывают фазовые переменные при ламинарном и турбулентном движении жидкости.

Топологические уравнения гидравлической системы близки по своему смыслу и идентичны по форме топологическим уравнениям электрических систем, а именно сумма потоков в любом узле системы и сумма давлений вдоль любого контура системы равны нулю.

Фазовые переменные пневматических систем – потоки газа и давления – аналогичны по смыслу фазовым переменным гидравлических систем. Также одинаковы в гидравлических и пневматических системах компонентные и топологические уравнения.

5) Тепловые системы

Для этих систем основные фазовые переменные – температура T и тепловой поток gт.

Одно компонентное уравнение тепловой системы связывает разность температур на участке элемента и тепловой поток через тепловое сопротивление Rт, которое определяется теплоотдачей посредством теплопроводности, конвекции и лучеиспускания, другое уравнение через теплоемкость Cт связывает тепловой поток и температуру элемента системы. Уравнения с понятием «тепловой гибкости» в тепловых системах нет.

Топологические уравнения для сумм тепловых потоков и разностей температур тепловых систем также аналогичны законам Кирхгофа в электрических системах.

Топологические уравнения для любых из рассмотренных выше систем строго определены только для установившихся режимов. В тех случаях, когда время распределения возбуждений (изменений фазовых переменных) по ветвям системы соизмеримо с длительностью интервалов времени, на которых ведется исследование, или превышает их, применять такие уравнения в приведенной выше форме нельзя.

Границы применимости топологических уравнений определяются скоростями распространения возбуждений, размерами компонентов системы и частотами изменения фазовых переменных. Например, для электрических систем скорость распространения возбуждений есть скорость света или электромагнитных волн в соответствующей среде, а для механических, гидравлических и пневматических – это скорость распространения звука в соответствующей среде.

Назад