Уравнения электромагнитного переходного процесса синхронной машины

 

Переходный процесс в электрической машине любого типа может быть описан системой дифференциальных уравнений в той или иной системе координат. Выбор системы координат определяется конкретными условиями решаемой задачи. Дифференциальные уравнения равновесия ЭДС и падений напряжений в каждой из обмоток статора (А, В, С) и ротора (f):

UА=-∂ΨА/∂t-RА?iA ;

UВ=-∂ΨВ/∂t-RВ?iВ ;

UС=-∂ΨС/∂t-RС?iС ;

Uf=∂Ψf/∂t+Rf?if ,

где RА, RВ, RС, Rf – активные сопротивления контуров фаз А, В, С и обмотки возбуждения; ΨА, ΨВ, ΨС, Ψf - результирующие потокосцепления контуров фаз А, В, С и обмотки возбуждения.

Входящее в эту систему потокосцепление обмотки фазы А выражается уравнением:

ΨА=LАiА+MАВiВ+MАСiС+MАfif ,

где LА – коэффициент самоиндукции обмотки фазы А; MАВ - коэффициент взаимоиндукции обмоток фаз А и В; MАС - коэффициент взаимоиндукции обмоток фаз А и В; MАf - коэффициент взаимоиндукции обмотки фазы А и обмотки возбуждения.

Аналогичными уравнениями выражаются потокосцепления для обмоток других фаз. Закон изменения взаимных индуктивностей между обмоткой возбуждения и каждой фазной обмоткой статора выражается синусоидальной функцией. Систему дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами решить очень сложно. Для её решения существуют несколько способов. Известно, что мгновенные значения фазных величин (U, Ψ, i) можно получить как проекции фазных векторов на неподвижную ось времени или как проекции обобщенного вектора на неподвижные магнитные оси фаз. Обобщенный вектор в общем случае может характеризовать фазные величины, изменяющиеся во времени по произвольному закону. Возможность представления трехфазной системы векторов обобщенным вектором существенно упрощает выражение связи между статором и ротором, что позволяет в дифференциальных уравнениях переходного процесса освободится от переменных коэффициентов. Представление фазных величин fА, fВ, fС через обобщенный вектор возможно при условии:

fА+fB+fC=0.

Если сумма фазных переменных не равна нулю, то её целесообразно выразить через новое переменное f0 : fА+fB+fC=3f0. Нулевая составляющая во всех фазах одинакова и тождественна составляющей нулевой последовательности метода симметричных составляющих. Фазные переменные, выраженные через обобщенный вектор:

fА=f?cosα;

fВ=f?cos(α-2π/3);

fС=f?cos(α+2π/3),

где α - угол между векторами fА и f.

Обобщенный вектор можно выразить и в двухосной системе координат. В качестве последней удобно выбрать декартовые ортогональные координаты. Преобразование координат соответствует замене переменных. Проекции вектора f (рис.3.5.) на оси х и у:

fХ=f?cos(θ-α);

fУ=f?sin(θ-α),

где θ - угол между магнитной осью фазы А и осью Х.

Применение новой системы координат сокращает переменные коэффициенты. Значительные упрощения можно достичь, используя декартову систему координат, жестко связанную с ротором синхронной машины. Эту систему координат сокращенно обозначают и называют d, q и 0 (рис.3.6). Поскольку фазные обмотки синхронной машины, расположенные в осях d, q, неподвижны относительно ротора, все индуктивности такой машины постоянны. Фазные переменные в системе координат d, q и 0:

fА=fdcosγ+fqsinγ+f0;

fВ=fdcos(γ - 2π/3)+fqsin(γ - 2π/3)+f0;

fС=fdcos(γ+2π/3)+fqsin(γ+2π/3)+f0,

где γ=ωсt+γ0 – угол, характеризующий положение ротора в пространстве; ωс - синхронная угловая скорость, γ0- начальный уг

Фазные переменные напряжения, тока в системе координат d, q и 0:

UА=Ud?cosγ+Uq?sinγ+U0;

iА=id?cos(γ - 2π/3)+iq?sin(γ - 2π/3)+i0;

ΨАd?cos(γ+2π/3)+Ψq?sin(γ+2π/3)+Ψ0.

Подставляя фазные переменные в дифференциальное уравнение равновесия обмотки фазы А получим уравнения Парка-Горева:

Ud=-∂Ψd/∂t-Ψq?∂γ/∂t-R?id ;

Uq=-∂Ψq/∂t-Ψd?∂γ/∂t-R?iq ;

U0=-∂Ψ0/∂t-R?i0 ,

где ∂Ψd/∂, ∂Ψq/∂t, ∂Ψ0/∂ – ЭДС трансформации, которые вызываются изменением величин потокосцеплений; Ψq?∂γ/∂ и Ψd?∂γ/∂t – ЭДС вращения (скольжения).

Преобразование координат XYZ

 

Преобразование координат d и q

Назад