Представление помех во временной области

 

Ряды Фурье

Помехи, возникающие в ЭСС, бывают синусоидальными с частотой 50 Гц (проникают из источника питания), в виде высокочастотной несущей волны, прямоугольными, например в виде последовательности тактовых импульсов, периодически затухающие однократные импульсы, случайно возникающие, например, при коммутациях в сети, одиночные импульсы и т.д.

Сначала рассмотрим представление периодического сигнала произвольной формы в однофазной сети.

Например, напряжение прямоугольной формы, возникшее как наложение колебания основной частоты f1= 1/T и бесконечно многих гармонических колебаний uv с частотами nvf1. Зависимость амплитуды отдельных колебаний от частоты представляет собой дискретный линейчатый спектр (рис. 2). Наименьшая встречающаяся в линейчатом спектре частота – основная частота .

Частоты высших гармоник являются целыми кратными этой основной частоте, например .

Будут ли иметь место синусоидальные, смешанные, косинусоидальные с целыми или дробными гармониками функции, зависит от того, как описывается импульс во временной области.

Аналитический ряд Фурье любой функции времени может быть представлен в различных формах.

Нормальная форма ряда Фурье

 (3.1)

где

 (3.2)

Коэффициенты An, Bn – амплитуды отдельных комбинаций;

U0 – постоянная составляющая, равная среднему арифметическому значению функции времени.

Амплитудно-фазовая форма ряда Фурье

Сумма косинусоид и синусоид в выражении (3.1) может быть представлена в виде суммы только одних косинусоид или синусоид с соответствующими начальными фазами.

Так, если принять:

, (3.3)

где , то выражение (3.1) можно переписать:

. (3.4)

Необходимо иметь в виду, что угол находится с учетом знаков An, Bn, определяющих знаки синуса и косинуса.

Выражение (3.4) удобно использовать, когда требуется знать процентное содержание каждой гармоники. Величину называют амплитудным спектром. Величину  – фазным спектром.

Теоретически ряд Фурье содержит бесконечное число слагаемых. Однако обычно ряд быстро сходится и для получения заданной точности достаточно взять небольшое число гармоник.

Комплексная форма ряда Фурье

Для получения комплексной формы воспользуемся преобразованием Эйлера:

. (3.5)

Тогда можно записать

 (3.6).

С учетом (3.6) выражение (3.1) запишется в виде

. (3.7)

В соответствии с [2] An – четная, а Bn – нечетная функции относительно n, т.е. An сохраняет свой знак при отрицательных значениях n, а Bn – меняет его:

An=A(–n); Bn= – B(–n).

С учетом того, что , можно записать:

(3.8)

Учет отрицательных частот приводит к двухстороннему спектру. Поэтому значение амплитуды n-й гармоники равно

, (3.9)

Амплитуда n-ой гармоники равна

. (3.10)

Из (3.8) следует, что напряжение u(t) на каждой частоте является результатом сложения двух векторов, сумма действительных частей векторов дает амплитуду напряжения, мнимые части взаимно сокращаются, т.е. их сумма равна нулю.

Назад