Спектральный анализ помех. Преобразование Фурье

 

Разложение в ряд Фурье применимо только для периодических функций времени. Однако часто помехи или полезные сигналы не являются периодическими функциями. Таковыми, например, являются помехи при коммутационных процессах, грозовых разрядах, разрядах статистического электричества и т.д.

Преобразование Фурье или интеграл Фурье позволяют периодические функции времени f(t) представлять совокупностью бесконечно большого числа гармоник с бесконечно малыми амплитудами во всем диапазоне частот от до .

Такой метод представления периодических функций сходен с разложением периодических функций в ряд Фурье. В разделах математики и в теоретических разделах электротехники преобразование Фурье рассматривается как частный случай преобразования Лапласа, когда . Такой способ позволяет распространить свойство преобразований Лапласа на преобразование Фурье, в частности, можем пользоваться таблицами оригиналов и изображений. Однако такой путь изучения свойств преобразования Фурье потребовал бы полного изложения теории преобразования Лапласа, что, безусловно, перегрузило бы данную работы. Поэтому преобразования Фурье получили упрощенным способом – из разложения в ряд Фурье.

В соответствии с (3.8) разложение в ряд Фурье в комплексной форме имеет вид:

 (3.11)

Интервал между соседними частотами равен:

В линейчатом спектре ряда Фурье расстояние между спектральными линиями составляет

,

откуда . (3.12)

Тогда (3.11) с учетом (3.12) можно записать

. (3.13)

Внутренний интеграл в выражении (3.13) можно записать:

. (3.14)

Комплексная функция частоты дает закон изменения комплексных амплитуд гармоник в зависимости от частоты  и называется спектральной плотностью, спектром функции u(t).  называется амплитудно-частотной характеристикой. Выражение (3.14) называют односторонним, прямым преобразованием Фурье (преобразования при t>0).

Если при t<0 u(t)0, то спектральную плотность находят при помощи двухстороннего преобразования Фурье, когда .

. (3.15)

С учетом (3.15) выражение (3.4) принимает вид:

.

Применение прямого преобразования Фурье дает возможность определить спектры помех.

В качестве примеров определим спектральные плотности некоторых помех u(t).

Рис. Прямоугольный импульс во временной плоскости

На рис. 4 построен прямоугольный импульс длительностью , высотой amax. По (3.15) спектральная плотность

, (3.16)

т.е. амплитудно–частотная характеристика

 (3.17)

и значение фазы  равно 0 при положительных значениях синуса и  – при отрицательных. Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики показаны на рис. 4.

Теоретически спектр прямоугольного импульса неограничен, но удельный вес гармоник с ростом частоты уменьшается (рис. 4. а,б).

Помехи в ЭЭС, создаваемые источниками электромагнитных возмущений, могут быть трехфазными, однофазными, узкополосными, так и широкополосными.

Назад