Предисловие

 

Моделирование – один из самых мощных методов познания окружающего нас мира. С давних времен этот метод применялся при постройке зданий и сооружений, для предсказывания явлений природы, установления законов и т. п. Трудно сейчас назвать область деятельности человека, где бы не применялось моделирование.

Под математическим моделированием понимается описание некоторых свойств и соотношений реального объекта, процесса или явления с помощью математической символики. Наиболее известными математическими моделями являются системы целых и действительных чисел. Эти модели используются для описания таких процессов, как счет, сравнение, измерение и т. п. Модели, которые применимы к объектам произвольной формы, называются абстрактными, абстрактную модель можно определить двумя способами: аксиоматически и конструктивно.

Аксиоматическое определение основано на непротиворечивом наборе правил (определяющих аксиом), вводящих операции, которыми можно пользоваться, и устанавливающих соотношения между их результатами. Например, правила сложения и умножения действительных чисел. Конструктивное определение вводит математическую модель на основе уже известных математических понятий, например, сложение и умножение матриц в терминах сложения и умножения чисел.

Моделирование как научный метод стал предметом обобщения и анализа начиная с 40-х годов XX века. Вначале появилось не совсем четкое представление о некоем объекте-заместителе, материальном или идеальном, который при определенных условиях может заменять исходный объект-оригинал, воспроизводя некоторые характеристики, свойства и отношения, присущие последнему.

Преимущества объекта-заместителя заключаются в его доступности, обозримости в пространстве и времени, наглядности и неограниченных возможностях для экспериментирования.

Математическое моделирование предполагает описание свойств определенного объекта на языке математики с целью его дальнейшего исследования при решении различных задач только методами математики. Объект, описанный на языке математики, представляется некоторой математической структурой (различными уравнениями, передаточной функцией, графиком и т. п.) с определенными параметрами; а процесс исследования математической модели заключается в применении к этой структуре совокупности математических преобразований и операций в соответствии с некоторым алгоритмом. Результатом такого исследования является новая информация об объекте, но в той части его свойств, которые нашли отражение в математическом описании.

ЭВМ позволяют исследовать эти свойства при возможных вариациях параметров, входящих в модель, определять ее вероятностные характеристики, находить оптимальные параметры и решать другие задачи.

Недостатком метода математического моделирования является то, что исследователь находится в плену существующей математики. Он пытается описать явления в новых областях с помощью известных математических структур. Но может ли математика описать изучаемые явления? Не во всех случаях. К таким случаям относятся, например, некоторые экологические, экономические и социальные задачи. Развитие этих научных направлений требует от математиков разработки новых структур, дающих исследователю возможность использовать методы математического моделирования.

Назад